🍄MATH
QUEST
🪙0

📚 FORMULA LIBRARY

คลังสูตรคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4–ม.6 ทั้งหมด 87 สูตร จาก 18 บท — พร้อมวิธีจำ พิสูจน์ย่อ และตัวอย่าง

กรองตามชั้น:
กรองตามบท:

พบ 87 สูตร

ม.4 เล่ม1เซต

📐 จำนวนสับเซต / เพาเวอร์เซต

n(P(A))=2n(A)n(P(A)) = 2^{n(A)}
🧠 วิธีจำ: สมาชิกแต่ละตัวมี 2 ทางเลือก คือ “เอา” หรือ “ไม่เอา” → คูณ 2 ไปเรื่อย ๆ n ตัว
🔍 พิสูจน์ย่อ: การสร้างสับเซตหนึ่งสับเซต คือการตัดสินใจ n ครั้ง แต่ละครั้งมี 2 ตัวเลือก โดยหลักการคูณจึงได้ 2×2×⋯×2=2n2 \times 2 \times \cdots \times 2 = 2^n สับเซต
✏️ ตัวอย่าง: A = {1,2,3} → P(A) มี 23=82^3 = 8 สับเซต ได้แก่ ∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}
ม.4 เล่ม1เซต

📐 สูตรนับยูเนียน 2 เซต

n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)
🧠 วิธีจำ: บวกทั้งคู่ แล้วลบ “ตัวซ้ำ” ออกหนึ่งครั้ง
🔍 พิสูจน์ย่อ: แยก A∪BA \cup B เป็น 3 ก้อนที่ไม่ซ้อนกัน คือ A−BA-B, A∩BA\cap B, B−AB-A จะได้ n(A)=n(A−B)+n(A∩B)n(A)=n(A-B)+n(A\cap B) และ n(B)=n(B−A)+n(A∩B)n(B)=n(B-A)+n(A\cap B) บวกกันแล้วลบ n(A∩B)n(A\cap B) หนึ่งครั้งจึงได้สูตร
✏️ ตัวอย่าง: n(A)=12, n(B)=8, n(A∩B)=3 → n(A∪B) = 12+8−3 = 17
ม.4 เล่ม1เซต

📐 สูตรนับยูเนียน 3 เซต

n(A∪B∪C)=∑n(A)−∑n(A∩B)+n(A∩B∩C)n(A\cup B\cup C)=\sum n(A)-\sum n(A\cap B)+n(A\cap B\cap C)
🧠 วิธีจำ: บวกเดี่ยว → ลบคู่ → บวกสาม (หลักการเพิ่ม–ลด / Inclusion–Exclusion)
🔍 พิสูจน์ย่อ: แต่ละสมาชิกในบริเวณซ้อนถูกนับเกินจำนวนครั้งที่ต้องหักล้าง: สมาชิกใน 2 เซตถูกนับ 2 ครั้ง (ลบ 1), สมาชิกใน 3 เซตถูกนับ 3 ครั้ง ลบออก 3 ครั้งแล้วต้องบวกกลับ 1 ครั้ง จึงครบถ้วนพอดี
✏️ ตัวอย่าง: 22+18+15−9−5−6+3 = 38 คน
ม.4 เล่ม1เซต

📐 ผลต่างและคอมพลีเมนต์

A−B=A∩B′,(A∪B)′=A′∩B′A-B = A \cap B', \qquad (A \cup B)' = A' \cap B'
🧠 วิธีจำ: กฎเดอมอร์แกน: “พลิกนอก–ใน แล้วสลับ ∪ กับ ∩”
🔍 พิสูจน์ย่อ: x∈(A∪B)′⇔x∉A∪B⇔x∉Ax \in (A\cup B)' \Leftrightarrow x \notin A \cup B \Leftrightarrow x\notin A และ x∉B⇔x∈A′∩B′x\notin B \Leftrightarrow x\in A'\cap B'
✏️ ตัวอย่าง: U={1..10}, A={2,4}, B={4,6} → A−B={2}, (A∪B)'={1,3,5,7,8,9,10}
ม.4 เล่ม1เซต

📐 ค่าสูงสุด–ต่ำสุดของอินเตอร์เซกชัน

max⁡(0,n(A)+n(B)−n(U))≤n(A∩B)≤min⁡(n(A),n(B))\max(0, n(A)+n(B)-n(U)) \le n(A\cap B) \le \min(n(A), n(B))
🧠 วิธีจำ: ซ้อนได้มากสุด = เซตเล็กกว่าทั้งเซต / ซ้อนน้อยสุด = ดันให้ล้น U ก่อน
🔍 พิสูจน์ย่อ: จาก n(A∪B)≤n(U)n(A\cup B) \le n(U) จะได้ n(A)+n(B)−n(A∩B)≤n(U)n(A)+n(B)-n(A\cap B) \le n(U) ย้ายข้างได้ขอบล่าง ส่วนขอบบนได้จาก A∩B⊆AA\cap B \subseteq A และ ⊆B\subseteq B
✏️ ตัวอย่าง: ห้อง 40 คน ชอบคณิต 25 ชอบฟิสิกส์ 20 → ชอบทั้งคู่อย่างน้อย 25+20−40 = 5 คน อย่างมาก 20 คน
ม.4 เล่ม1ตรรกศาสตร์

📐 นัยสำคัญ (implies)

p→q  ≡  ∼p∨qp \rightarrow q \;\equiv\; \sim p \vee q
🧠 วิธีจำ: “ถ้าฝนตกฉันพกร่ม” เป็นเท็จกรณีเดียวคือ ฝนตกแต่ไม่พกร่ม
🔍 พิสูจน์ย่อ: ทำตารางค่าความจริง 4 แถวของทั้งสองข้าง จะได้ T,T,F,T ตรงกันทุกแถว จึงสมมูลกัน
✏️ ตัวอย่าง: p=T, q=F → p→qp\to q = F และ ∼p∨q=F∨F=F\sim p \vee q = F\vee F = F ตรงกัน
ม.4 เล่ม1ตรรกศาสตร์

📐 ก็ต่อเมื่อ (biconditional)

p↔q  ≡  (p→q)∧(q→p)p \leftrightarrow q \;\equiv\; (p\rightarrow q)\wedge(q\rightarrow p)
🧠 วิธีจำ: “ไป–กลับต้องจริงทั้งคู่” ค่าเหมือนกัน = จริง
🔍 พิสูจน์ย่อ: แยกตารางค่าความจริงของ (p→q)∧(q→p)(p\to q)\wedge(q\to p) จะได้ T,F,F,T ซึ่งตรงกับตารางของ ↔\leftrightarrow
✏️ ตัวอย่าง: p=F, q=F → p↔qp\leftrightarrow q = T
ม.4 เล่ม1ตรรกศาสตร์

📐 กฎเดอมอร์แกน

∼(p∧q)≡∼p∨∼q\sim(p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q
🧠 วิธีจำ: นิเสธทะลุวงเล็บ → กลับเครื่องหมาย ∘ “ไม่(ทั้งAและB)” = “ไม่A หรือไม่B”
🔍 พิสูจน์ย่อ: พิจารณากรณีเดียวที่ทำให้ข้างซ้ายเป็น T คือ p,q ไม่เป็น T พร้อมกัน ซึ่งตรงกับข้างขวาที่เป็น ∨\vee ของนิเสธ
✏️ ตัวอย่าง: “ไม่ใช่คนที่ทั้งขยันและฉลาด” ≡ “ไม่ขยัน หรือ ไม่ฉลาด”
ม.4 เล่ม1ตรรกศาสตร์

📐 นิเสธของตัวบ่งปริมาณ

∼[∀x P(x)]≡∃x[∼P(x)]\sim[\forall x\,P(x)] \equiv \exists x[\sim P(x)]
🧠 วิธีจำ: “ไม่จริงที่ทุกตัวเป็น... ” = “มีอย่างน้อยหนึ่งตัวที่ไม่เป็น...”
🔍 พิสูจน์ย่อ: ถ้า ∀xP(x)\forall x P(x) เป็นเท็จ แสดงว่าต้องมี x บางตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ นั่นคือ ∃x∼P(x)\exists x\sim P(x) เป็นจริง
✏️ ตัวอย่าง: นิเสธของ “นักเรียนทุกคนทำการบ้าน” คือ “มีนักเรียนบางคนไม่ทำการบ้าน”
ม.4 เล่ม1ตรรกศาสตร์

📐 การอ้างเหตุผล Modus Ponens / Tollens

p→q,  p∴qp→q,  ∼q∴∼p\frac{p\rightarrow q,\; p}{\therefore q} \qquad \frac{p\rightarrow q,\; \sim q}{\therefore \sim p}
🧠 วิธีจำ: Ponens = “ยืนยันหน้า”, Tollens = “ปฏิเสธท้าย”
🔍 พิสูจน์ย่อ: [(p→q)∧p]→q[(p\to q)\wedge p]\to q มีตารางค่าความจริงเป็น T ทั้ง 4 แถว จึงเป็นสัจนิรันดร์ → สมเหตุสมผล
✏️ ตัวอย่าง: ถ้าฝนตกถนนเปียก / ฝนตก / ∴ ถนนเปียก ✅
ม.4 เล่ม1จำนวนจริง

📐 ทฤษฎีบทเศษเหลือ

P(x)÷(x−c) เหลือเศษ P(c)P(x) \div (x-c) \text{ เหลือเศษ } P(c)
🧠 วิธีจำ: อยากได้เศษ ไม่ต้องหารยาว — แค่แทนค่า c ลงไป
🔍 พิสูจน์ย่อ: เขียน P(x)=(x−c)Q(x)+RP(x)=(x-c)Q(x)+R เมื่อแทน x=cx=c จะได้ P(c)=0⋅Q(c)+R=RP(c)=0\cdot Q(c)+R=R
✏️ ตัวอย่าง: P(x)=x3−2x+1P(x)=x^3-2x+1 หารด้วย (x−2)(x-2) เหลือเศษ P(2)=8−4+1=5P(2)=8-4+1=5
ม.4 เล่ม1จำนวนจริง

📐 ทฤษฎีบทตัวประกอบ

(x−c) เป็นตัวประกอบ⇔P(c)=0(x-c) \text{ เป็นตัวประกอบ} \Leftrightarrow P(c)=0
🧠 วิธีจำ: แทนแล้วได้ศูนย์ = หารลงตัว
🔍 พิสูจน์ย่อ: จากเศษเหลือ R=P(c)R=P(c) ถ้า P(c)=0P(c)=0 แสดงว่าเศษเป็น 0 นั่นคือ (x−c)(x-c) หารลงตัว
✏️ ตัวอย่าง: P(x)=x2−5x+6P(x)=x^2-5x+6, P(2)=0P(2)=0 → (x−2)(x-2) เป็นตัวประกอบ ได้ (x−2)(x−3)(x-2)(x-3)
ม.4 เล่ม1จำนวนจริง

📐 ค่าสัมบูรณ์กำลังสอง

x2=∣x∣,∣x∣<a⇔−a<x<a\sqrt{x^2}=|x|, \qquad |x|<a \Leftrightarrow -a<x<a
🧠 วิธีจำ: ถอดรากได้ค่าบวกเสมอ → ครอบด้วย | |
🔍 พิสูจน์ย่อ: โดยนิยาม ∣x∣≥0|x|\ge 0 และ (∣x∣)2=x2(|x|)^2=x^2 ดังนั้นรากที่สองหลัก (ค่าบวก) ของ x2x^2 คือ ∣x∣|x|
✏️ ตัวอย่าง: ∣2x−1∣<3⇔−3<2x−1<3⇔−1<x<2|2x-1|<3 \Leftrightarrow -3<2x-1<3 \Leftrightarrow -1<x<2
ม.4 เล่ม1จำนวนจริง

📐 ผลบวก/ผลต่างกำลังสาม

a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)a^3 \pm b^3 = (a\pm b)(a^2 \mp ab + b^2)
🧠 วิธีจำ: “หน้า ± หลัง” คูณ “หน้า² ∓ หน้าหลัง + หลัง²” (เครื่องหมายตรงกลางสลับ)
🔍 พิสูจน์ย่อ: คูณกระจาย (a+b)(a2−ab+b2)=a3−a2b+ab2+a2b−ab2+b3=a3+b3(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3
✏️ ตัวอย่าง: x3−8=(x−2)(x2+2x+4)x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)
ม.4 เล่ม1จำนวนจริง

📐 ช่วง (Interval)

[a,b]={x∣a≤x≤b},(a,b)={x∣a<x<b}[a,b]=\{x\mid a\le x\le b\},\quad (a,b)=\{x\mid a<x<b\}
🧠 วิธีจำ: [ = รวมจุด (วงเล็บเหลี่ยมกอดไว้) , ( = ไม่รวม
🔍 พิสูจน์ย่อ: เป็นสัญกรณ์ของเซตจำนวนจริงบนเส้นจำนวน โดยกำหนดให้วงเล็บเหลี่ยมหมายถึงอสมการแบบมีเท่ากับ
✏️ ตัวอย่าง: x∈[−2,5)x\in[-2,5) หมายถึง −2 ≤ x < 5
ม.4 เล่ม2ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

📐 ฟังก์ชันคอมโพสิต

(g∘f)(x)=g(f(x))(g\circ f)(x)=g(f(x))
🧠 วิธีจำ: เครื่องจักรต่อกัน: ผลผลิตของเครื่องแรก = วัตถุดิบของเครื่องที่สอง
🔍 พิสูจน์ย่อ: โดยนิยามความสัมพันธ์ประกอบ g∘f={(a,c)∣∃b,(a,b)∈f,(b,c)∈g}g\circ f=\{(a,c)\mid \exists b,(a,b)\in f, (b,c)\in g\} จึงได้ (g∘f)(x)=g(f(x))(g\circ f)(x)=g(f(x))
✏️ ตัวอย่าง: f(x)=x+1, g(x)=2x → (g∘f)(3)=g(4)=8 แต่ (f∘g)(3)=f(6)=7
ม.4 เล่ม2ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

📐 ฟังก์ชันผกผัน

f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x))=x
🧠 วิธีจำ: เดินไปแล้วย้อนกลับ ต้องยืนที่เดิม
🔍 พิสูจน์ย่อ: ให้ y=f(x)y=f(x) แล้ว f−1(y)=xf^{-1}(y)=x โดยนิยามของอินเวอร์ส แทน y=f(x)y=f(x) จึงได้ f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x))=x
✏️ ตัวอย่าง: f(x)=3x−1 → f⁻¹(x)=(x+1)/3 ตรวจ f⁻¹(f(2))=f⁻¹(5)=2 ✅
ม.4 เล่ม2ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

📐 อินเวอร์สของคอมโพสิต

(g∘f)−1=f−1∘g−1(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}
🧠 วิธีจำ: ใส่ถุงเท้าแล้วใส่รองเท้า → ถอดต้องถอดรองเท้าก่อน
🔍 พิสูจน์ย่อ: (f−1∘g−1)∘(g∘f)=f−1∘(g−1∘g)∘f=f−1∘I∘f=I(f^{-1}\circ g^{-1})\circ(g\circ f)=f^{-1}\circ(g^{-1}\circ g)\circ f=f^{-1}\circ I\circ f=I จึงเป็นอินเวอร์สของ g∘fg\circ f
✏️ ตัวอย่าง: f(x)=x+1, g(x)=2x → (g∘f)⁻¹(x)=(x−1)/2
ม.4 เล่ม2ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

📐 โดเมนของฟังก์ชัน

Df={x∈R∣f(x) หาค่าได้}D_f=\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)\ \text{หาค่าได้}\}
🧠 วิธีจำ: ห้ามหารด้วยศูนย์ / ห้ามติดรากของจำนวนลบ
🔍 พิสูจน์ย่อ: เกิดจากข้อกำหนดของระบบจำนวนจริง: a0\frac{a}{0} ไม่นิยาม และ a\sqrt{a} (a<0) ไม่ใช่จำนวนจริง
✏️ ตัวอย่าง: f(x)=√(x−3)/(x−5) → โดเมน [3,5)∪(5,∞)
ม.4 เล่ม2ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

📐 ฟังก์ชันกำลังสอง (รูปยอด)

y=a(x−h)2+ky=a(x-h)^2+k
🧠 วิธีจำ: (h,k) คือจุดยอด, a บวก = คว่ำ? ไม่! a บวก = หงาย
🔍 พิสูจน์ย่อ: จัดรูปทั่วไป ax2+bx+cax^2+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ a(x+b2a)2+c−b24aa(x+\frac{b}{2a})^2+c-\frac{b^2}{4a} จึงได้จุดยอด (−b2a,c−b24a)(-\frac{b}{2a}, c-\frac{b^2}{4a})
✏️ ตัวอย่าง: y=2(x−1)²+3 มีจุดยอด (1,3) พาราโบลาหงาย ค่าต่ำสุด = 3
ม.4 เล่ม2ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

📐 นิยามลอการิทึม

log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b
🧠 วิธีจำ: log คือ “เลขชี้กำลัง” ที่ทำให้ฐาน a กลายเป็น b
🔍 พิสูจน์ย่อ: นิยามโดยตรงจากฟังก์ชันผกผัน: f(x)=axf(x)=a^x เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จึงมีอินเวอร์ส f−1(x)=log⁡axf^{-1}(x)=\log_a x
✏️ ตัวอย่าง: log⁡28=3\log_2 8 = 3 เพราะ 23=82^3=8
ม.4 เล่ม2ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

📐 log ของผลคูณ/ผลหาร

log⁡aMN=log⁡aM+log⁡aN\log_a MN=\log_a M+\log_a N
🧠 วิธีจำ: คูณกลายเป็นบวก หารกลายเป็นลบ
🔍 พิสูจน์ย่อ: ให้ log⁡aM=p,log⁡aN=q\log_a M=p, \log_a N=q แล้ว MN=apaq=ap+qMN=a^p a^q=a^{p+q} ดังนั้น log⁡aMN=p+q\log_a MN=p+q
✏️ ตัวอย่าง: log⁡20=log⁡(2⋅10)=log⁡2+1≈1.301\log 20 = \log(2\cdot10)=\log2+1\approx1.301
ม.4 เล่ม2ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

📐 log ของเลขยกกำลัง

log⁡aMn=nlog⁡aM\log_a M^n = n\log_a M
🧠 วิธีจำ: ดึงเลขชี้กำลังลงมาข้างหน้า
🔍 พิสูจน์ย่อ: Mn=(alog⁡aM)n=anlog⁡aMM^n=(a^{\log_a M})^n=a^{n\log_a M} ใส่ log ฐาน a ทั้งสองข้างจึงได้สูตร
✏️ ตัวอย่าง: log⁡381=log⁡334=4\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4
ม.4 เล่ม2ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

📐 เปลี่ยนฐาน

log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}
🧠 วิธีจำ: เอา log ฐานใหม่หารด้วย log ของฐานเก่า
🔍 พิสูจน์ย่อ: ให้ x=log⁡ab⇒ax=bx=\log_a b\Rightarrow a^x=b ใส่ log⁡c\log_c ทั้งสองข้าง: xlog⁡ca=log⁡cbx\log_c a=\log_c b ดังนั้น x=log⁡cblog⁡cax=\frac{\log_c b}{\log_c a}
✏️ ตัวอย่าง: log⁡25=log⁡5log⁡2≈0.6990.301=2.32\log_2 5 = \frac{\log 5}{\log 2}\approx\frac{0.699}{0.301}=2.32
ม.4 เล่ม2ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

📐 ดอกเบี้ยทบต้น / การเติบโต

A=P(1+rm)mnA=P\left(1+\dfrac{r}{m}\right)^{mn}
🧠 วิธีจำ: เงินต้น × (1+อัตราต่อรอบ)^(จำนวนรอบทั้งหมด)
🔍 พิสูจน์ย่อ: แต่ละรอบเงินเพิ่มขึ้นเป็น (1+rm)(1+\frac{r}{m}) เท่า ผ่าน mn รอบจึงคูณซ้ำ mn ครั้ง
✏️ ตัวอย่าง: 10,000 บาท ดอกเบี้ย 4%/ปี ทบรายปี 3 ปี → 10,000(1.04)³ ≈ 11,248.64 บาท
ม.4 เล่ม2เรขาคณิตวิเคราะห์

📐 ระยะระหว่างสองจุด

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
🧠 วิธีจำ: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสบนแกนพิกัด (กว้าง² + สูง²)
🔍 พิสูจน์ย่อ: สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว ∣x2−x1∣|x_2-x_1| และ ∣y2−y1∣|y_2-y_1| แล้วใช้พีทาโกรัสกับด้านตรงข้ามมุมฉาก
✏️ ตัวอย่าง: (1,2) กับ (4,6): d=9+16=5d=\sqrt{9+16}=5
ม.4 เล่ม2เรขาคณิตวิเคราะห์

📐 ความชันและเส้นขนาน/ตั้งฉาก

m=y2−y1x2−x1,m1m2=−1m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\quad m_1m_2=-1
🧠 วิธีจำ: ขนาน = m เท่ากัน / ตั้งฉาก = m คูณได้ −1 (กลับเศษส่วนติดลบ)
🔍 พิสูจน์ย่อ: เส้นตั้งฉากหมุนทิศ 90° ทำให้เวกเตอร์ทิศ (1,m1)(1,m_1) กลายเป็น (−m1,1)(-m_1,1) ซึ่งมีความชัน −1/m1-1/m_1 คูณกันได้ −1
✏️ ตัวอย่าง: m=2 → เส้นตั้งฉากมี m=−1/2
ม.4 เล่ม2เรขาคณิตวิเคราะห์

📐 ระยะจากจุดถึงเส้นตรง

d=∣Ax1+By1+C∣A2+B2d=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}
🧠 วิธีจำ: แทนจุดลงในสมการเส้น แล้วหารด้วยรากของสัมประสิทธิ์กำลังสอง
🔍 พิสูจน์ย่อ: ได้จากสูตรฉายภาพเวกเตอร์: ระยะคือส่วนประกอบตั้งฉากของเวกเตอร์จากจุดบนเส้นไปยังจุดที่กำหนด หารด้วยความยาวเวกเตอร์ปกติ (A,B)(A,B)
✏️ ตัวอย่าง: จุด (1,1) ถึงเส้น 3x+4y−2=0: d=∣3+4−2∣5=1d=\frac{|3+4-2|}{5}=1
ม.4 เล่ม2เรขาคณิตวิเคราะห์

📐 วงรี

(x−h)2a2+(y−k)2b2=1,  c2=a2−b2\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\; c^2=a^2-b^2
🧠 วิธีจำ: ผลบวกเป็น 1, a คือตัวใหญ่, โฟกัสห่างศูนย์กลาง c ตามแกนเอก
🔍 พิสูจน์ย่อ: จากนิยาม ผลรวมระยะจากจุดบนวงรีถึงโฟกัสทั้งสองเท่ากับ 2a จัดรูปพีชคณิตด้วยระยะทางจะได้สมการมาตรฐาน
✏️ ตัวอย่าง: x225+y29=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 → a=5,b=3,c=4 โฟกัส (±4,0)
ม.4 เล่ม2เรขาคณิตวิเคราะห์

📐 พาราโบลา

(y−k)2=4c(x−h)(y-k)^2=4c(x-h)
🧠 วิธีจำ: กำลังสองอยู่ที่ y = เปิดซ้าย/ขวา; c>0 เปิดขวา
🔍 พิสูจน์ย่อ: จากนิยาม ระยะถึงโฟกัส = ระยะถึงเส้นไดเรกตริกซ์ x=h−cx=h-c ยกกำลังสองทั้งสองข้างแล้วจัดรูปจะได้สมการนี้
✏️ ตัวอย่าง: y2=8xy^2=8x → 4c=8, c=2 โฟกัส (2,0) ไดเรกตริกซ์ x=−2
ม.5 เล่ม1ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

📐 เอกลักษณ์พีทาโกรัส

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1
🧠 วิธีจำ: จุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย: x2+y2=1x^2+y^2=1 โดย x=cos⁡θ,y=sin⁡θx=\cos\theta,y=\sin\theta
🔍 พิสูจน์ย่อ: จุด (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta) อยู่บนวงกลม x2+y2=1x^2+y^2=1 แทนค่าจึงได้เอกลักษณ์
✏️ ตัวอย่าง: ถ้า sin⁡θ=35\sin\theta=\frac35 แล้ว cos⁡2θ=1−925=1625\cos^2\theta=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25} → cos⁡θ=±45\cos\theta=\pm\frac45
ม.5 เล่ม1ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

📐 กฎของไซน์

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R
🧠 วิธีจำ: ด้านหารด้วย sin ของมุม “ตรงข้าม” ได้ค่าเท่ากันทุกคู่
🔍 พิสูจน์ย่อ: ลากเส้นสูงจากมุม C ได้ h=bsin⁡A=asin⁡Bh=b\sin A=a\sin B จัดรูปได้ asin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} ทำซ้ำกับมุมอื่นจึงครบ
✏️ ตัวอย่าง: A=30°, B=45°, a=10 → b=10sin⁡45∘sin⁡30∘=102\frac{10\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=10\sqrt2
ม.5 เล่ม1ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

📐 กฎของโคไซน์

c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2=a^2+b^2-2ab\cos C
🧠 วิธีจำ: พีทาโกรัส + “พจน์ปรับมุม” เมื่อมุมไม่ใช่ 90°
🔍 พิสูจน์ย่อ: วางสามเหลี่ยมบนแกนพิกัด ให้ C ที่จุดกำเนิด ด้าน a อยู่บนแกน x ได้พิกัดยอด (bcos⁡C,bsin⁡C)(b\cos C, b\sin C) แล้วใช้สูตรระยะทางถึง (a,0)(a,0)
✏️ ตัวอย่าง: a=7,b=5,C=60° → c2=49+25−35=39c^2=49+25-35=39, c=39c=\sqrt{39}
ม.5 เล่ม1ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

📐 กราฟไซน์ทั่วไป

y=Asin⁡(Bx+C)+Dy=A\sin(Bx+C)+D
🧠 วิธีจำ: A = สูง (แอมพลิจูด), B = ถี่ (คาบ 2π/B), C = เลื่อนข้าง, D = เลื่อนขึ้น
🔍 พิสูจน์ย่อ: การคูณด้วย A ยืดแกนตั้ง, การคูณ B Inside บีบแกนนอนเป็น 2π/B2\pi/B, การบวก C/D เป็นการเลื่อนกราฟ (transformation)
✏️ ตัวอย่าง: y=3sin(2x)+1 → แอมพลิจูด 3 คาบ π ค่ากลาง 1 สูงสุด 4 ต่ำสุด −2
ม.5 เล่ม1ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

📐 มุมสองเท่า

sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta
🧠 วิธีจำ: แตกจากสูตรผลบวคมุม sin⁡(θ+θ)\sin(\theta+\theta)
🔍 พิสูจน์ย่อ: sin⁡(θ+θ)=sin⁡θcos⁡θ+cos⁡θsin⁡θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin(\theta+\theta)=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta=2\sin\theta\cos\theta
✏️ ตัวอย่าง: ถ้า sin⁡θ=35,cos⁡θ=45\sin\theta=\frac35,\cos\theta=\frac45 → sin⁡2θ=2⋅35⋅45=2425\sin2\theta=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25}
ม.5 เล่ม1เมทริกซ์

📐 ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2

det⁡[abcd]=ad−bc\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc
🧠 วิธีจำ: แนวทแยงหลักลบแนวทแยงรอง
🔍 พิสูจน์ย่อ: มาจากสูตรการหาปริมาตรที่มีทิศทาง/เงื่อนไขการมีอินเวอร์ส: ระบบ ax+by=0,cx+dy=0ax+by=0,cx+dy=0 มีคำตอบไม่ชัดแจ้งก็ต่อเมื่อ ad−bc=0ad-bc=0
✏️ ตัวอย่าง: det⁡[3124]=12−2=10\det\begin{bmatrix}3&1\\2&4\end{bmatrix}=12-2=10
ม.5 เล่ม1เมทริกซ์

📐 อินเวอร์ส 2×2

A−1=1ad−bc[d−b−ca]A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}
🧠 วิธีจำ: สลับแนวทแยง ติดลบตัวที่เหลือ แล้วหารด้วย det
🔍 พิสูจน์ย่อ: คูณ AA กับเมทริกซ์ adjugate จะได้ (ad−bc)I(ad-bc)I หารด้วย det จึงได้ AA−1=IAA^{-1}=I
✏️ ตัวอย่าง: A=[2134]A=\begin{bmatrix}2&1\\3&4\end{bmatrix}, det=5 → A−1=15[4−1−32]A^{-1}=\frac15\begin{bmatrix}4&-1\\-3&2\end{bmatrix}
ม.5 เล่ม1เมทริกซ์

📐 การคูณเมทริกซ์

(AB)ij=∑k=1naikbkj(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}
🧠 วิธีจำ: แถวจับหลัก แล้วคูณทีละคู่ บวกกัน
🔍 พิสูจน์ย่อ: นิยามจากการประกอบของการแปลงเชิงเส้น: (AB)x=A(Bx)(AB)x=A(Bx) เมื่อกระจายจะได้สูตรผลรวมนี้
✏️ ตัวอย่าง: [1234][1001]=[1234]\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}
ม.5 เล่ม1เมทริกซ์

📐 กฎของคราเมอร์

xi=det⁡Aidet⁡Ax_i=\frac{\det A_i}{\det A}
🧠 วิธีจำ: แทนหลักของตัวแปรนั้นด้วยคอลัมน์คำตอบ แล้วหารด้วย det ของสัมประสิทธิ์
🔍 พิสูจน์ย่อ: จาก AX=BAX=B คูณด้วย A−1=1det⁡Aadj(A)A^{-1}=\frac{1}{\det A}\mathrm{adj}(A) แล้วดูสมาชิกแถวที่ i จะได้สูตรนี้
✏️ ตัวอย่าง: 2x+y=7, x−3y=−7 → x=2, y=3
ม.5 เล่ม1เมทริกซ์

📐 คุณสมบัติดีเทอร์มิแนนต์

det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B,det⁡(kA)=kndet⁡A\det(AB)=\det A\cdot\det B,\quad \det(kA)=k^n\det A
🧠 วิธีจำ: det ของผลคูณ = ผลคูณของ det / คูณสเกลาร์ต้องยกกำลัง n
🔍 พิสูจน์ย่อ: det คือฟังก์ชันเชิงซ้อนหลายเส้นที่วัดการยืดพื้นที่ ซึ่งการประกอบการแปลงทำให้ปริมาตรคูณกัน ส่วน kAkA ยืดทุกแถว n แถว แถวละ k เท่า
✏️ ตัวอย่าง: det A=3, det B=−2 → det(AB)=−6; A ขนาด 2×2 → det(2A)=4(3)=12
ม.5 เล่ม1เวกเตอร์ในสามมิติ

📐 ขนาดเวกเตอร์

∣u⃗∣=a2+b2+c2|\vec u|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}
🧠 วิธีจำ: พีทาโกรัส 3 ชั้น (กว้าง สูง ลึก)
🔍 พิสูจน์ย่อ: ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสองครั้ง: เส้นทแยงในระนาบ xy คือ a2+b2\sqrt{a^2+b^2} แล้วรวมกับ c อีกครั้งได้ a2+b2+c2\sqrt{a^2+b^2+c^2}
✏️ ตัวอย่าง: |⟨3,4,12⟩| = √(9+16+144) = √169 = 13
ม.5 เล่ม1เวกเตอร์ในสามมิติ

📐 ผลคูณเชิงสเกลาร์

u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec u\cdot\vec v=|\vec u||\vec v|\cos\theta
🧠 วิธีจำ: dot บอก “ความเข้ากันได้ของทิศทาง” → ตั้งฉากได้ 0
🔍 พิสูจน์ย่อ: จากกฎของโคไซน์กับสามเหลี่ยมที่มีด้าน u⃗,v⃗,u⃗−v⃗\vec u,\vec v,\vec u-\vec v แล้วกระจาย ∣u⃗−v⃗∣2|\vec u-\vec v|^2 จะได้สูตรนี้
✏️ ตัวอย่าง: ⟨1,2,3⟩·⟨4,−5,6⟩ = 4−10+18 = 12
ม.5 เล่ม1เวกเตอร์ในสามมิติ

📐 ผลคูณเชิงเวกเตอร์

u⃗×v⃗=⟨b1c2−c1b2,  c1a2−a1c2,  a1b2−b1a2⟩\vec u\times\vec v=\langle b_1c_2-c_1b_2,\; c_1a_2-a_1c_2,\; a_1b_2-b_1a_2\rangle
🧠 วิธีจำ: กระจายดีเทอร์มิแนนต์ i j k และ “ลืมเครื่องหมายลบที่ j”
🔍 พิสูจน์ย่อ: ได้จากการกระจายดีเทอร์มิแนนต์ 3×3 ตามแถวแรก และผลลัพธ์ตั้งฉากกับทั้ง u⃗,v⃗\vec u,\vec v (ตรวจได้โดย dot แล้วได้ 0)
✏️ ตัวอย่าง: ⟨1,0,0⟩×⟨0,1,0⟩ = ⟨0,0,1⟩ = k⃗\vec k
ม.5 เล่ม1เวกเตอร์ในสามมิติ

📐 พื้นที่จาก cross product

พื้นที่สามเหลี่ยม=12∣u⃗×v⃗∣\text{พื้นที่สามเหลี่ยม}=\tfrac12|\vec u\times\vec v|
🧠 วิธีจำ: cross คือพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน → หาร 2 ได้สามเหลี่ยม
🔍 พิสูจน์ย่อ: ∣u⃗×v⃗∣=∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ|\vec u\times\vec v|=|\vec u||\vec v|\sin\theta ซึ่งคือ ฐาน × สูง ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ประกอบจากเวกเตอร์สองตัว
✏️ ตัวอย่าง: u=⟨1,0,0⟩, v=⟨0,2,0⟩ → |u×v|=2 → พื้นที่สามเหลี่ยม = 1
ม.5 เล่ม1เวกเตอร์ในสามมิติ

📐 สมการระนาบ

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0
🧠 วิธีจำ: เวกเตอร์ปกติ ⟨A,B,C⟩ คือสัมประสิทธิ์ของ x,y,z
🔍 พิสูจน์ย่อ: จุด P(x,y,z) อยู่บนระนาบก็ต่อเมื่อ P0P→⋅n⃗=0\overrightarrow{P_0P}\cdot\vec n=0 เมื่อกระจายผลคูณเชิงสเกลาร์จึงได้สมการนี้
✏️ ตัวอย่าง: ผ่าน (1,2,3) ปกติ ⟨2,−1,4⟩ → 2(x−1)−(y−2)+4(z−3)=0 → 2x−y+4z−12=0
ม.5 เล่ม2จำนวนเชิงซ้อน

📐 หน่วยจินตภาพ

i2=−1,in วนรอบ 4i^2=-1,\quad i^n \text{ วนรอบ 4}
🧠 วิธีจำ: i, −1, −i, 1 วนซ้ำ
🔍 พิสูจน์ย่อ: โดยนิยาม i=−1i=\sqrt{-1} จึงได้ i2=−1,i3=i2⋅i=−i,i4=(i2)2=1i^2=-1, i^3=i^2\cdot i=-i, i^4=(i^2)^2=1 แล้ววนซ้ำทุกรอบ 4
✏️ ตัวอย่าง: i25=i24i=(i4)6i=ii^{25}=i^{24}i=(i^4)^6 i=i
ม.5 เล่ม2จำนวนเชิงซ้อน

📐 คอนจูเกตและค่าสัมบูรณ์

zzˉ=∣z∣2=a2+b2z\bar z=|z|^2=a^2+b^2
🧠 วิธีจำ: คูณคอนจูเกต → ส่วนจินตภาพหายไปหมด
🔍 พิสูจน์ย่อ: (a+bi)(a−bi)=a2−abi+abi−b2i2=a2+b2(a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2i^2=a^2+b^2
✏️ ตัวอย่าง: (3+4i)(3−4i)=9+16=25=∣z∣2(3+4i)(3-4i)=9+16=25=|z|^2
ม.5 เล่ม2จำนวนเชิงซ้อน

📐 รูปขั้ว

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ), r=∣z∣z=r(\cos\theta+i\sin\theta),\ r=|z|
🧠 วิธีจำ: r = ระยะจากจุดกำเนิด, θ = มุมจากแกนจริงบวก
🔍 พิสูจน์ย่อ: จากพิกัด (a,b)(a,b) ในระนาบเชิงซ้อน ใช้ตรีโกณมิติ a=rcos⁡θ,b=rsin⁡θa=r\cos\theta, b=r\sin\theta
✏️ ตัวอย่าง: 1+3i=2(cos⁡60∘+isin⁡60∘)1+\sqrt3 i=2(\cos60^\circ+i\sin60^\circ)
ม.5 เล่ม2จำนวนเชิงซ้อน

📐 ทฤษฎีบทของเดอมัวฟร์

(r cis θ)n=rn cis(nθ)(r\,\mathrm{cis}\,\theta)^n=r^n\,\mathrm{cis}(n\theta)
🧠 วิธีจำ: ยกกำลัง = “ขนาดยกกำลัง มุมคูณ”
🔍 พิสูจน์ย่อ: พิสูจน์โดยอุปนัย: คูณ rcisθr\mathrm{cis}\theta เข้าไป n ครั้ง ขนาดคูณกัน n ตัวเป็น rnr^n มุมบวกกัน n ครั้งเป็น nθn\theta
✏️ ตัวอย่าง: (cis20∘)9=cis180∘=−1(\mathrm{cis}20^\circ)^9=\mathrm{cis}180^\circ=-1
ม.5 เล่ม2จำนวนเชิงซ้อน

📐 รากที่ n

wk=rn cis(θ+360∘kn), k=0,...,n−1w_k=\sqrt[n]{r}\,\mathrm{cis}\left(\frac{\theta+360^\circ k}{n}\right),\ k=0,...,n-1
🧠 วิธีจำ: หารมุมเป็น n ส่วนเท่า ๆ กันบนวงกลม
🔍 พิสูจน์ย่อ: จาก wn=zw^n=z เขียนทั้งสองข้างในรูปขั้ว แล้วเทียบขนาดและมุม (มุมต่างกัน 360∘k360^\circ k ได้)
✏️ ตัวอย่าง: รากที่ 2 ของ i=cis90∘i=\mathrm{cis}90^\circ คือ cis45∘\mathrm{cis}45^\circ และ cis225∘\mathrm{cis}225^\circ
ม.5 เล่ม2หลักการนับเบื้องต้น

📐 หลักการคูณ

n1×n2×⋯×nkn_1\times n_2\times\cdots\times n_k
🧠 วิธีจำ: ทำต่อเนื่องกัน = คูณทุกขั้น
🔍 พิสูจน์ย่อ: สร้างตารางต้นไม้ของการเลือก แต่ละกิ่งแตก n ตัวคูณกันไปเรื่อย ๆ จำนวนปลายกิ่งจึงเป็นผลคูณ
✏️ ตัวอย่าง: เสื้อ 3 ตัว กางเกง 4 ตัว → 3×4 = 12 แบบ
ม.5 เล่ม2หลักการนับเบื้องต้น

📐 เรียงสับเปลี่ยน

P(n,r)=n!(n−r)!P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}
🧠 วิธีจำ: คูณลดหลั่น r ตัว: n(n−1)(n−2)…
🔍 พิสูจน์ย่อ: เลือกตัวที่ 1 ได้ n วิธี ตัวที่ 2 ได้ n−1 วิธี … ตัวที่ r ได้ n−r+1 วิธี คูณกันได้ n!(n−r)!\frac{n!}{(n-r)!}
✏️ ตัวอย่าง: P(6,2)=6×5=30
ม.5 เล่ม2หลักการนับเบื้องต้น

📐 การจัดหมู่

C(n,r)=(nr)=n!r!(n−r)!C(n,r)=\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}
🧠 วิธีจำ: เหมือน P แต่หารด้วย r! เพราะไม่สนลำดับ
🔍 พิสูจน์ย่อ: แต่ละกลุ่มที่ถูกเลือก r สิ่ง เรียงสลับที่ได้ r! แบบ ซึ่งนับซ้ำใน P(n,r) จึงต้องหารออก
✏️ ตัวอย่าง: C(5,2)=5!2!3!\frac{5!}{2!3!}=10
ม.5 เล่ม2หลักการนับเบื้องต้น

📐 เรียงสับเปลี่ยนวงกลม

(n−1)!(n-1)!
🧠 วิธีจำ: ตรึงหนึ่งคน แล้วเรียงที่เหลือเป็นแถว
🔍 พิสูจน์ย่อ: การเรียงวงกลม n สิ่งมี n แบบที่เหมือนกันจากการหมุน จึงได้ n!n=(n−1)!\frac{n!}{n}=(n-1)!
✏️ ตัวอย่าง: คน 6 คนนั่งโต๊ะกลมได้ 5! = 120 วิธี
ม.5 เล่ม2หลักการนับเบื้องต้น

📐 ทฤษฎีบททวินาม

(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k
🧠 วิธีจำ: เลขชี้กำลังของ a ลด จาก n ถึง 0 ส่วน b เพิ่มจาก 0 ถึง n
🔍 พิสูจน์ย่อ: การคูณวงเล็บ (a+b) จำนวน n วงเล็บ แต่ละพจน์เกิดจากการเลือก a หรือ b จากแต่ละวงเล็บ จำนวนวิธีเลือก b ได้ k วงเล็บคือ (nk)\binom{n}{k}
✏️ ตัวอย่าง: สัมประสิทธิ์ของ x3x^3 ใน (x+2)5(x+2)^5 คือ (52)22=40\binom{5}{2}2^2=40
ม.5 เล่ม2ความน่าจะเป็น

📐 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

P(E)=n(E)n(S)P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}
🧠 วิธีจำ: สิ่งที่อยากได้ ÷ ทั้งหมดที่เป็นไปได้
🔍 พิสูจน์ย่อ: มาจากการทดลองซ้ำหลายครั้ง (กฎจำนวนมาก) เมื่อผลลัพธ์ทุกแบบมีโอกาสเท่ากัน อัตราส่วนความถี่จะลู่เข้า n(E)n(S)\frac{n(E)}{n(S)}
✏️ ตัวอย่าง: ทอยลูกเต๋าได้แต้มมากกว่า 4: 26=13\frac{2}{6}=\frac13
ม.5 เล่ม2ความน่าจะเป็น

📐 คอมพลีเมนต์

P(E′)=1−P(E)P(E')=1-P(E)
🧠 วิธีจำ: “อย่างน้อยหนึ่ง” = 1 − “ไม่มีเลย”
🔍 พิสูจน์ย่อ: E กับ E' ไม่เกิดร่วมกันและรวมกันได้ S จึง P(E)+P(E′)=P(S)=1P(E)+P(E')=P(S)=1
✏️ ตัวอย่าง: ทอยเหรียญ 3 ครั้ง ได้หัวอย่างน้อย 1 ครั้ง = 1−18=781-\frac18=\frac78
ม.5 เล่ม2ความน่าจะเป็น

📐 กฎการบวก

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
🧠 วิธีจำ: เหมือนสูตรเซตทุกประการ
🔍 พิสูจน์ย่อ: แยก A∪BA\cup B เป็น (A−B)(A-B), (A∩B)(A\cap B), (B−A)(B-A) ซึ่งไม่ซ้อนกัน แล้วบวกความน่าจะเป็น
✏️ ตัวอย่าง: P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A∩B)=0.2 → P(A∪B)=0.7
ม.5 เล่ม2ความน่าจะเป็น

📐 ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
🧠 วิธีจำ: ย่อแซมเปิลสเปซเหลือแค่ B แล้วนับ A ในนั้น
🔍 พิสูจน์ย่อ: เมื่อรู้ว่า B เกิด แซมเปิลสเปซใหม่คือ B ดังนั้น P(A∣B)=n(A∩B)n(B)P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)} ซึ่งเท่ากับอัตราส่วนของความน่าจะเป็น
✏️ ตัวอย่าง: ถุงมีแดง 4 ขาว 6 ใบ หยิบไม่คืน 2 ใบ ใบแรกได้แดง โอกาสใบที่สองแดง = 39=13\frac39=\frac13
ม.5 เล่ม2ความน่าจะเป็น

📐 เหตุการณ์อิสระ

P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B)
🧠 วิธีจำ: ไม่影響กัน → คูณตรง ๆ
🔍 พิสูจน์ย่อ: ถ้า A,B อิสระ แล้ว P(A∣B)=P(A)P(A|B)=P(A) แทนในสูตรเงื่อนไขจึงได้ P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B)
✏️ ตัวอย่าง: ยิงเป้า 2 ครั้ง โอกาส 0.6 และ 0.5 → โดนทั้งคู่ = 0.3
ม.6 เล่ม1ลำดับและอนุกรม

📐 พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d
🧠 วิธีจำ: เริ่มที่พจน์แรก แล้วก้าวไป (n−1) ก้าว ก้าวละ d
🔍 พิสูจน์ย่อ: a2=a1+d,a3=a1+2d,…a_2=a_1+d, a_3=a_1+2d,\dots โดยอุปนัยได้ an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d
✏️ ตัวอย่าง: 2,5,8,… → d=3, a10=2+9(3)=29a_{10}=2+9(3)=29
ม.6 เล่ม1ลำดับและอนุกรม

📐 ผลบวกเลขคณิต

Sn=n2(a1+an)S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)
🧠 วิธีจำ: จับคู่หัว–ท้าย ได้ค่าเท่ากันทุกคู่ n/2 คู่
🔍 พิสูจน์ย่อ: เขียน SnS_n ทั้งแบบหน้าไปหลังและหลังไปหน้า แล้วบวกเข้าด้วยกัน ได้ 2Sn=n(a1+an)2S_n=n(a_1+a_n)
✏️ ตัวอย่าง: 1+2+…+20 = 202(1+20)=210\frac{20}{2}(1+20)=210
ม.6 เล่ม1ลำดับและอนุกรม

📐 ผลบวกเรขาคณิตจำกัด

Sn=a11−rn1−rS_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}
🧠 วิธีจำ: คูณด้วย r แล้วลบ จะเหลือแค่หัวกับท้าย
🔍 พิสูจน์ย่อ: Sn=a1+a1r+⋯+a1rn−1S_n=a_1+a_1r+\dots+a_1r^{n-1} และ rSn=a1r+⋯+a1rnrS_n=a_1r+\dots+a_1r^n ลบกันได้ Sn(1−r)=a1(1−rn)S_n(1-r)=a_1(1-r^n)
✏️ ตัวอย่าง: 1+2+4+…+2⁹ = 1−2101−2=1023\frac{1-2^{10}}{1-2}=1023
ม.6 เล่ม1ลำดับและอนุกรม

📐 อนุกรมเรขาคณิตอนันต์

S∞=a11−r, ∣r∣<1S_\infty=\frac{a_1}{1-r},\ |r|<1
🧠 วิธีจำ: r เล็กลงเรื่อย ๆ จน rn→0r^n\to0 เหลือแค่ a11−r\frac{a_1}{1-r}
🔍 พิสูจน์ย่อ: จาก Sn=a11−rn1−rS_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r} เมื่อ ∣r∣<1|r|<1 จะได้ lim⁡rn=0\lim r^n=0 จึงเหลือ a11−r\frac{a_1}{1-r}
✏️ ตัวอย่าง: 1+13+19+⋯=11−1/3=321+\frac13+\frac19+\cdots=\frac{1}{1-1/3}=\frac32
ม.6 เล่ม1ลำดับและอนุกรม

📐 ค่างวดผ่อนชำระ

A=PV⋅i1−(1+i)−nA=\frac{PV\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}
🧠 วิธีจำ: ดอกเบี้ยต่อเดือน ÷ ส่วนที่ลดลงของมูลค่าปัจจุบัน
🔍 พิสูจน์ย่อ: มูลค่าปัจจุบันของค่างวด n งวด คืออนุกรมเรขาคณิต PV=A∑k=1n(1+i)−k=A1−(1+i)−niPV=A\sum_{k=1}^{n}(1+i)^{-k}=A\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} จัดรูปใหม่จึงได้สูตร
✏️ ตัวอย่าง: PV=300,000, i=0.005, n=60 → A ≈ 5,800 บาท/เดือน
ม.6 เล่ม1แคลคูลัสเบื้องต้น

📐 นิยามอนุพันธ์

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
🧠 วิธีจำ: ความชันของเส้นตัด → ความชันเส้นสัมผัส เมื่อ h เล็กลงเรื่อย ๆ
🔍 พิสูจน์ย่อ: ความชันเส้นตัดผ่านสองจุดห่าง h คือ f(x+h)−f(x)h\frac{f(x+h)-f(x)}{h} เมื่อ h→0h\to0 จุดทั้งสองชนกัน จึงได้ความชันเส้นสัมผัส
✏️ ตัวอย่าง: f(x)=x² → f′(x)=lim⁡(x+h)2−x2h=lim⁡(2x+h)=2xf'(x)=\lim\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim(2x+h)=2x
ม.6 เล่ม1แคลคูลัสเบื้องต้น

📐 กฎกำลัง

ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}
🧠 วิธีจำ: ดึงเลขชี้กำลังลงมาข้างหน้า แล้วลดหนึ่ง
🔍 พิสูจน์ย่อ: ใช้ทวินามกระจาย (x+h)n(x+h)^n พจน์แรกคือ xnx^n พจน์ที่สอง nxn−1hnx^{n-1}h พจน์ที่เหลือมี h กำลังสูงกว่า 1 จึงหายไปเมื่อ h→0
✏️ ตัวอย่าง: ddxx5=5x4\frac{d}{dx}x^5=5x^4
ม.6 เล่ม1แคลคูลัสเบื้องต้น

📐 กฎลูกโซ่

dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}
🧠 วิธีจำ: ดิฟชั้นนอก (คงข้างใน) แล้วคูณดิฟชั้นใน
🔍 พิสูจน์ย่อ: จากนิยามลิมิตของอัตราส่วนการเปลี่ยนแปลง ΔyΔx=ΔyΔu⋅ΔuΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x} เมื่อลิมิตเข้า 0 จึงได้กฎลูกโซ่
✏️ ตัวอย่าง: ddx(2x+1)5=5(2x+1)4⋅2=10(2x+1)4\frac{d}{dx}(2x+1)^5=5(2x+1)^4\cdot2=10(2x+1)^4
ม.6 เล่ม1แคลคูลัสเบื้องต้น

📐 ปริพันธ์กำลัง

∫xndx=xn+1n+1+C\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
🧠 วิธีจำ: ย้อนกฎกำลัง: เพิ่มเลขชี้กำลัง 1 แล้วหารด้วยเลขใหม่
🔍 พิสูจน์ย่อ: ดิฟ xn+1n+1+C\frac{x^{n+1}}{n+1}+C กลับไปได้ xnx^n จึงเป็น antiderivative
✏️ ตัวอย่าง: ∫023x2dx=[x3]02=8\int_0^2 3x^2dx=[x^3]_0^2=8
ม.6 เล่ม1แคลคูลัสเบื้องต้น

📐 ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)
🧠 วิธีจำ: หา antiderivative แล้วแทนขอบบนลบขอบล่าง
🔍 พิสูจน์ย่อ: ถ้า G(x)=∫axf(t)dtG(x)=\int_a^x f(t)dt แล้ว G′(x)=f(x)G'(x)=f(x) ดังนั้น G ต่างจาก F เพียงค่าคงที่ แทนค่าจึงได้ผลต่าง F(b)−F(a)
✏️ ตัวอย่าง: ∫132x dx=[x2]13=9−1=8\int_1^3 2x\,dx=[x^2]_1^3=9-1=8
ม.6 เล่ม2ความหมายของสถิติศาสตร์และข้อมูล

📐 สัดส่วนในตัวอย่าง

p^=xn\hat{p}=\frac{x}{n}
🧠 วิธีจำ: จำนวนที่สนใจ ÷ ขนาดตัวอย่าง
🔍 พิสูจน์ย่อ: เป็นตัวประมาณค่าแบบไม่มีอคติของสัดส่วนประชากร p เนื่องจาก E(p^)=pE(\hat p)=p
✏️ ตัวอย่าง: สำรวจ 200 คน ชอบ 150 คน → p^=0.75\hat p=0.75
ม.6 เล่ม2ความหมายของสถิติศาสตร์และข้อมูล

📐 ขนาดตัวอย่างแบบแบ่งชั้น

nh=n⋅NhNn_h=n\cdot\frac{N_h}{N}
🧠 วิธีจำ: สุ่มตามสัดส่วนของชั้นนั้นต่อประชากรทั้งหมด
🔍 พิสูจน์ย่อ: การแบ่งสัดส่วนทำให้แต่ละชั้นถูกแทนอย่างถูกต้อง ลดความคลาดเคลื่อนรวมของตัวประมาณค่า
✏️ ตัวอย่าง: ประชากร 1,000 (ชาย 400) ต้องการ n=100 → สุ่มชาย 40 คน
ม.6 เล่ม2ความหมายของสถิติศาสตร์และข้อมูล

📐 ช่วงการสุ่มแบบระบบ

k=Nnk=\frac{N}{n}
🧠 วิธีจำ: ระยะห่างระหว่างคนที่ถูกเลือก
🔍 พิสูจน์ย่อ: เพื่อให้ครอบคลุมประชากร N ด้วยตัวอย่าง n คนอย่างสม่ำเสมอ ต้องเว้นระยะ Nn\frac{N}{n} คน
✏️ ตัวอย่าง: รายชื่อ 500 คน ต้องการ 50 คน → เลือกทุก ๆ k = 10 คน
ม.6 เล่ม2การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงคุณภาพ

📐 ความถี่สัมพัทธ์

frel=fi∑ff_{rel}=\frac{f_i}{\sum f}
🧠 วิธีจำ: สัดส่วนของหมวดนั้นต่อทั้งหมด (รวมกันได้ 1)
🔍 พิสูจน์ย่อ: มาจากการนิยามสัดส่วนโดยตรง ผลรวมของทุก fif_i เท่ากับ N จึงได้ผลรวมสัดส่วนเป็น 1
✏️ ตัวอย่าง: 90 จาก 200 → 0.45 หรือ 45%
ม.6 เล่ม2การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงคุณภาพ

📐 มุมในกราฟวงกลม

θi=fiN×360∘\theta_i=\frac{f_i}{N}\times360^\circ
🧠 วิธีจำ: เปอร์เซ็นต์ × 3.6 = องศา
🔍 พิสูจน์ย่อ: วงกลมมี 360° สัดส่วนของหมวดจึงต้องกินมุมตามอัตราส่วนความถี่
✏️ ตัวอย่าง: 45% → 0.45×360 = 162°
ม.6 เล่ม2การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงคุณภาพ

📐 ฐานนิยมของข้อมูลเชิงคุณภาพ

mode=หมวดที่ fi มากสุด\text{mode}=\text{หมวดที่ }f_i\text{ มากสุด}
🧠 วิธีจำ: ใครนับได้เยอะสุด ชนะ
🔍 พิสูจน์ย่อ: นิยามของฐานนิยมคือค่าที่เกิดบ่อยที่สุดในการแจกแจงความถี่
✏️ ตัวอย่าง: ป๊อป 45% > ร็อก 25% → ฐานนิยมคือ ป๊อป
ม.6 เล่ม2การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงคุณภาพ

📐 ความถี่สัมพัทธ์สะสม

Fi=∑j≤ifrel,jF_i=\sum_{j\le i}f_{rel,j}
🧠 วิธีจำ: บวกไล่ลงมาเรื่อย ๆ จบที่ 1
🔍 พิสูจน์ย่อ: นิยามโดยตรงของการรวมสัดส่วนตั้งแต่หมวดแรกจนถึงหมวดที่ i
✏️ ตัวอย่าง: 0.45, 0.75, 0.90, 1.00
ม.6 เล่ม2การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงปริมาณ

📐 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

xˉ=∑xin\bar x=\frac{\sum x_i}{n}
🧠 วิธีจำ: รวมทั้งหมดแล้วหารด้วยจำนวนตัว
🔍 พิสูจน์ย่อ: นิยามโดยตรงของจุดศูนย์ถ่วงของข้อมูลบนเส้นจำนวน
✏️ ตัวอย่าง: 2,4,6,8 → xˉ=20/4=5\bar x=20/4=5
ม.6 เล่ม2การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงปริมาณ

📐 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s=∑(xi−xˉ)2n−1s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1}}
🧠 วิธีจำ: ระยะห่างเฉลี่ยจากค่าเฉลี่ย (ยกกำลังสองเพื่อกำจัดเครื่องหมาย)
🔍 พิสูจน์ย่อ: การยกกำลังสองทำให้ค่าเบี่ยงเบนบวกเสมอ และการหารด้วย n−1 (Bessel) ทำให้เป็นตัวประมาณค่าไม่มีความลำเอียงของความแปรปรวนประชากร
✏️ ตัวอย่าง: 1,2,3 → xˉ=2\bar x=2, s2=1+0+12=1s^2=\frac{1+0+1}{2}=1, s=1
ม.6 เล่ม2การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงปริมาณ

📐 พิสัยระหว่างควอร์ไทล์

IQR=Q3−Q1IQR=Q_3-Q_1
🧠 วิธีจำ: ความกว้างของ “ครึ่งกลาง” ของข้อมูล (กล่องใน Box Plot)
🔍 พิสูจน์ย่อ: จากนิยามควอร์ไทล์ Q1 คือตำแหน่ง 25% และ Q3 คือ 75% ผลต่างจึงครอบคลุมข้อมูลกลาง 50%
✏️ ตัวอย่าง: Q1=20, Q3=35 → IQR=15
ม.6 เล่ม2การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงปริมาณ

📐 เกณฑ์ค่าผิดปกติ

x<Q1−1.5 IQR หรือ x>Q3+1.5 IQRx<Q_1-1.5\,IQR\ \text{หรือ}\ x>Q_3+1.5\,IQR
🧠 วิธีจำ: เกินรั้ว 1.5 เท่าของกล่อง = outlier
🔍 พิสูจน์ย่อ: เป็นกฎเชิงประจักษ์ของ Tukey ที่ครอบคลุมข้อมูลปกติเกือบทั้งหมดในกล่อง + หนวด
✏️ ตัวอย่าง: Q1=20,Q3=35,IQR=15 → รั้วล่าง −2.5, รั้วบน 57.5
ม.6 เล่ม2การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงปริมาณ

📐 เปอร์เซ็นไทล์

Pk=ค่าที่ตำแหน่ง kn100P_k=\text{ค่าที่ตำแหน่ง}\ \frac{kn}{100}
🧠 วิธีจำ: เปอร์เซ็นไทล์ที่ k = มีข้อมูลต่ำกว่า k%
🔍 พิสูจน์ย่อ: นิยามจากการเรียงข้อมูลแล้วแบ่งเป็น 100 ส่วนเท่า ๆ กัน
✏️ ตัวอย่าง: n=40, P75 → ตำแหน่ง 30
ม.6 เล่ม2ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

📐 ค่าคาดหมาย

E(X)=∑xiP(xi)E(X)=\sum x_iP(x_i)
🧠 วิธีจำ: ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็น
🔍 พิสูจน์ย่อ: มาจากการหาค่าเฉลี่ยของข้อมูลซ้ำหลายครั้งโดยแต่ละค่าปรากฏตามความน่าจะเป็นของมัน (กฎจำนวนมาก)
✏️ ตัวอย่าง: ทอยลูกเต๋า E(X)=1+2+3+4+5+66=3.5E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5
ม.6 เล่ม2ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

📐 ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

V(X)=E(X2)−[E(X)]2V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
🧠 วิธีจำ: E ของกำลังสอง ลบ กำลังสองของ E
🔍 พิสูจน์ย่อ: ขยาย E[(X−μ)2]=E(X2)−2μE(X)+μ2=E(X2)−μ2E[(X-\mu)^2]=E(X^2)-2\mu E(X)+\mu^2=E(X^2)-\mu^2
✏️ ตัวอย่าง: ถ้า E(X)=3.5,E(X2)=15.17E(X)=3.5, E(X^2)=15.17 → V=15.17−12.25=2.92V=15.17-12.25=2.92
ม.6 เล่ม2ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

📐 การแจกแจงทวินาม

P(X=x)=(nx)px(1−p)n−xP(X=x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}
🧠 วิธีจำ: เลือกตำแหน่งที่สำเร็จ × โอกาสสำเร็จ^x × โอกาสล้มเหลว^(n−x)
🔍 พิสูจน์ย่อ: ลำดับการทดลองที่สำเร็จ x ครั้งใน n ครั้งมี (nx)\binom{n}{x} แบบ แต่ละแบบมีโอกาส px(1−p)n−xp^x(1-p)^{n-x} เพราะการทดลองอิสระกัน
✏️ ตัวอย่าง: ทอยเหรียญ 3 ครั้ง ได้หัว 2 ครั้ง: (32)(0.5)3=0.375\binom32(0.5)^3=0.375
ม.6 เล่ม2ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

📐 ค่ามาตรฐาน Z

Z=X−μσZ=\frac{X-\mu}{\sigma}
🧠 วิธีจำ: ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของ SD
🔍 พิสูจน์ย่อ: การแปลงเชิงเส้นนี้ทำให้ค่าเฉลี่ยเป็น 0 และ SD เป็น 1 โดยไม่เปลี่ยนรูปร่างของการแจกแจงปกติ
✏️ ตัวอย่าง: μ=100, σ=15, X=130 → Z=2 (สูงกว่าค่าเฉลี่ย 2 SD)
ม.6 เล่ม2ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

📐 ทวินาม: ค่าคาดหมายและความแปรปรวน

E(X)=np,V(X)=np(1−p)E(X)=np,\quad V(X)=np(1-p)
🧠 วิธีจำ: ทดลอง n ครั้ง โอกาสสำเร็จ p → คาดหวังสำเร็จ np ครั้ง
🔍 พิสูจน์ย่อ: X เป็นผลรวมของตัวแปรเบอร์นูลลีอิสระ n ตัว แต่ละตัวมี E=p,V=p(1−p)E=p, V=p(1-p) ผลรวมจึงได้ npnp และ np(1−p)np(1-p)
✏️ ตัวอย่าง: n=20, p=0.3 → E=6, V=4.2, SD≈2.05